Z - test 개념

**Z 검정(Z-test)**에 대한 개념 정리와 실습 예시(파이썬 코드 포함)입니다. Z 검정은 통계학의 기초적인 가설 검정 기법 중 하나로, 모집단 표준편차(σ\sigma)를 알고 있거나, 혹은 표본 크기가 매우 커서(일반적으로 n ≥\ge 30 이상) 표본 표준편차가 모집단 표준편차에 대한 추정이 충분히 안정적일 때 주로 사용합니다.

1. Z 검정(Z-test) 개념

1.1 정의

• Z 검정은 표본 평균의 분포가 **정규분포(Z 분포)**를 따른다고 가정할 수 있는 상황에서, 모평균이나 두 집단 평균 차이에 대한 가설을 검정하는 방법입니다.
• 주로 다음과 같은 경우 사용됩니다.
  1. 모집단 표준편차(σ\sigma)를 알고 있을 때
  2. 표본 크기가 커서(n ≥\ge 30 이상) 표본 표준편차()가 에 근접할 만큼 추정이 정확하다고 가정할 수 있을 때 (이 경우, 표본 분포가 중심극한정리에 의해 정규분포에 가까워짐) ss σ\sigma

1.2 T 검정과의 비교

실제로는 모집단 표준편차(σ\sigma)를 명확히 알고 있는 경우가 드문 편이라, 실무에서는 T 검정이 더 보편적으로 쓰입니다.

2. Z 검정의 종류

대표적으로 다음의 두 가지가 많이 쓰입니다.

1. 단일 표본 Z 검정(One-sample Z-test)

• 한 개 집단의 표본 평균이 특정 기준값()과 다른지 테스트 μ0\mu_0

2. 독립 표본 Z 검정(Two-sample Z-test)

• 서로 독립적인 두 집단의 평균 차이가 0인지 테스트
• 모집단 표준편차를 안다고 가정하거나, 큰 표본 크기로 인해 로 간주 σ≈s\sigma\approx s

대응 표본(Paired) Z 검정이라는 개념도 가능하지만, 흔히 실제에는 T 검정으로 더 많이 다루게 됩니다.

3. 단일 표본 Z 검정

3.1 검정 통계량

z=Xˉ−μ0σ/nz = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

• Xˉ\bar{X}: 표본평균
• μ0\mu_0: 귀무가설에서 제시하는 모집단 평균
• σ\sigma: (알려진) 모집단 표준편차
• nn: 표본 크기
• zz는 정규분포()를 따른다고 가정 N(0,1)N(0,1)

3.2 가설 예시

• 귀무가설 : (H0)(H_0) μ=μ0\mu = \mu_0
• 대립가설 : (양측 검정) 또는 / (단측 검정) (H1)(H_1) μ≠μ0\mu \neq \mu_0 μ>μ0\mu > \mu_0 μ<μ0\mu < \mu_0

3.3 예시 (수식 계산 방식)

1. Xˉ\bar{X}, , , 를 이용해 위 공식을 적용해 값 계산 nn σ\sigma μ0\mu_0 zz
2. zz분포에서 대응하는 p-value 계산
3. p-value < (일반적으로 0.05)면, 귀무가설 기각 α\alpha

4. 독립 표본 Z 검정

4.1 검정 통계량

• 서로 다른 두 집단(독립)에서 표본 평균 , 모집단 표준편차 를 모두 안다고 가정 Xˉ1,Xˉ2\bar{X}_1, \bar{X}_2 σ1,σ2\sigma_1, \sigma_2
• n1,n2n_1, n_2는 각각의 표본 크기 z=(Xˉ1−Xˉ2)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}
• 보통 귀무가설이 “”라면, 분모만큼으로 나눠준 형태가 됩니다. μ1−μ2=0\mu_1 - \mu_2 = 0

주의: